Subgrupo comutador

Em matemática, mais especificamente em álgebra abstrata, o subgrupo comutador ou subgrupo derivado de um grupo é o subgrupo gerado por todos os comutadores do grupo. Em outras palavras, o comutador de um grupo é o menor subgrupo normal tal que o quociente é abeliano.

Definição

Um comutador é um elemento da forma g^-1 h^-1 g h, representado por [g, h].

O subgrupo comutador é o menor subgrupo que contém todos os comutadores.

Representa-se o comutador do grupo G por G' . Esta definição pode ser repetida um número finito (ou infinito - usando-se a recursão transfinita) de vezes, representando-se:

• G⁽⁰⁾ = G
• G⁽ⁿ⁺¹⁾ é o comutador de G⁽ⁿ⁾
• G^α, para um número ordinal limite α, é a interseção dos G^x para todos x < α

Propriedades

• Se um grupo G é abeliano, então G' = { e }
• O subgrupo comutador é um subgrupo normal
• O quociente G/G' é um grupo abeliano
• Se N é um subgrupo normal de G, então G/N é abeliano se, e somente se, G' for um subgrupo de N